Función cuadrática

La ecuación cuadrática o de segundo grado representa gráficamente a una parábola, cuyo dominio serán todos los reales, pero la imagen está determinada por el vértice. En el presente artículo nos concentraremos en las características de este tipo de función como lo son: los ceros de la función, el conjunto de positividad, negatividad, máximo, mínimo, intervalos de crecimiento y decrecimiento. Hablaremos de las funciones en general para, después, desarrollar ejemplos típicos al final.

Comencemos con una función típica, cuya gráfica se parezca a una sonrisa y corte al eje de las x en dos puntos, o sea que tenga dos ceros o raíces, a los que llamaremos x₁ y x₂.

(x₁ , 0 ) y (x₂ , 0)

La imagen de  x₁ y de  x₂ es la misma, cero.  

Tenemos pues el primer conjunto de elementos importantes en la parábola, el conjunto de ceros, C^o, que al ser un conjunto finito se escribe entre llaves.   C^o = {x₁ ,  x₂}

Una vez ubicados los ceros podemos buscar los valores de x cuya imagen sea positiva,

estamos hablando del conjunto de positividad.

Ojo, no quiere decir que el valor de x sea positivo, sino que su imagen lo sea. En la gráfica que ven al lado, se ha pintado de rojo la parte que corresponde al conjunto de positividad, en el eje x se observa una línea verde indicando el intervalo del dominio de la parábola que representa a todos los valores de x cuyas imágenes son positivas, o sea el conjunto de positividad, que viene desde el infinito de los negativos hasta el x₁ y retoma en x₂ hasta el infinito de los positivo. Como son dos conjuntos se los une, (La "U" que aparece entre ambos intervalos es el símbolo de unión entre conjuntos)

Ahora fijémonos en el signo de las imágenes de los valores de x que se encuentran entre x₁ y x₂, todas las imágenes tienen signo negativo. En el gráfico que se encuentra a la izquierda vemos la parte correspondiente de la parábola pintada de verde, que representa al conjunto de negatividad, que será el intervalo abierto que tiene a x₁ y a x₂ como extremos. ¿Por qué abierto? x₁ y a x₂ son los ceros y los ceros no tienen signo, así que no pueden pertenecer a ninguno de los dos conjuntos, por lo tanto hay que escribirlos con paréntesis.

La parábola sonríe, quiere decir que el número que está multiplicando a la x², (que lleva el nombre de coeficiente principal y en la expresión polinómica se lo designa con la letra a) es positivo. Posee concavidad positiva.

Esta característica deja al vértice como mínimo absoluto. No habrá valor dentro de la imagen más chico que la componente y del vértice. El conjunto imagen, pues, irá desde la coordenada y del vértice (que pertenece al conjunto, por lo tanto irá con un corchete) hasta el infinito de los positivos. Img_f [v_y, +  ∞)

Ya lo habíamos indicado, pero vale la pena repetirlo. Como no hay problemas respecto al valor que podemos tomar en x para realizar los cálculos, sabemos que el dominio de la función son todos los reales. Dom_f : R

Cuando leemos el eje x, siempre lo hacemos desde la izquierda hacia la derecha. Así que podemos notar que la parábola "baja" a medida que se va acercando a v_x desde la izquierda. Por el dibujo podemos ver que x₁ es mayor que cero, pero la imagen de cero es positiva mientras que la imagen de x₁ es cero, o sea, es menor, más chica.

Tenemos que x₁ > 0 pero f_(x1) < f_(o)

La función  decrece desde el infinito de los negativos hasta la coordenada x del vértice.

Estamos frente al intervalo de decrecimiento.

Intervalo de decrecimiento: (–  ∞, 0)

Ahora, si observamos lo que ocurre a la parábola a la derecha de la coordenada x del vértice vemos que a medida que los valores de x van creciendo, sus imágenes también.

Si comparamos x₂ con v_x, la primera es mayor que la segunda y su imagen también es más grande.

Tenemos que x₂ > v_x y además f_(x2) > f_(vx)

Estamos frente al intervalo de crecimiento que va desde v_x hasta el infinito de los positivos.

Intervalo de crecimiento: (0, + ∞ )

Resumiendo: en una parábola que corte al eje en dos puntos y posee concavidad positiva tenemos:

Por supuesto que no es el único caso de este tipo de parábolas.

Podemos encontrarnos con una parábola que corte una sola vez al eje x. En este caso, x₁ será igual a x₂ y ambas serán iguales a la coordenada x del vértice.  x₁ = x₂ = v_x

En este caso nuestro conjunto de positividad son todos los reales excepto el vértice que corta al eje x. Pero nuestro conjunto de negatividad está vacío.

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento se calculan de la misma manera que en el caso anterior.

Otro caso que nos podemos encontrar es que la parábola no toque directamente el eje de las x. Esto ocurre cuando al resolver la raíz en la ecuación cuadrática el resultado (dentro de la raíz) nos da negativo.

En este caso tanto los ceros como el conjunto de negatividad están vacíos, no tienen elementos; mientras que el dominio y el conjunto de positividad son iguales, ambos son los reales.  

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento se calculan de la misma manera que los dos casos anteriores, ya que al no variar la concavidad son los mismos.

En el caso de la concavidad negativa la parábola parece llorar, pero la manera de buscar y analizar sus características no varía. Los ceros de la función están dados por los puntos en que la parábola corta al eje de las x. Tenemos, nuevamente, tres posibilidades, que lo corte en dos, uno o ningún punto. Al estar invertida la parábola nuestros conjuntos de positividad y negatividad están al revés que antes, lo mismo ocurre con los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Es más la imagen está invertida respecto a los casos anteriores. El vértice es el máximo absoluto y por lo tanto la imagen va del infinito de los negativos hasta la coordenada y del vértice.

Ejemplos de parábolas con concavidad positiva

Comencemos con la función más simple, f_(x) = x²

Lo primero que tenemos que determinar es nuestro dominio, no existe ninguna restricción para elevar un número al cuadrado así que nuestro dominio serán todos los reales. Pero además todo número elevado al cuadrado nos dará como resultado un valor positivo, de allí que en nuestra imagen no hallaremos ningún número negativo. Como el cero no tiene signo, para indicar nuestra imagen podemos expresarla como un intervalo semicerrado en cero o la unión entre cero y los reales positivos. Escribámoslo:   Dom_f : R              Img_f : [0, + ∞ )

Ceros de la función: Para poder hallarlos, simplemente igualamos la ecuación a cero y despejamos.

x² = 0, en este caso hay un solo valor, x = 0

Así que nuestro conjunto de ceros está compuesto por un solo elemento, el número cero: C ^o = {0}

Conjunto de negatividad: está formado por los elementos del dominio cuya imagen es negativa. Como ningún número elevado al cuadrado da negativo, en este caso, el conjunto de negatividad no posee ningún elemento, es vacío. Y lo escribimos: C ^– = { } ó C ^– = Ǿ.

Conjunto de positividad: está formado por los elementos del dominio cuya imagen es positiva. Salvo el cero, todo el dominio es positivo así que podemos escribirlo como:  C ⁺ = R – {0}

Conjunto o intervalo de decrecimiento: En este caso el vértice se ubica en el punto (0, 0) y al estar multiplicado x² por un valor positivo (uno) la parábola parece sonreír ya que siempre va para arriba. Pero no olvidemos que siempre leemos el eje de las x de izquierda a derecha, así que tenemos una parte de la parábola que decrece. Nótese que a medida que los valores de x de hacen más grandes, sus imágenes se hacen más chicas. Veamos un ejemplo para entender lo que sucede: si tomamos dos valores de x negativos el número será mayor cuanto más cerca del cero se encuentre. Por ejemplo – 3 es menor que – 1. Calculemos las imágenes en cada caso:

f_{(– 3)} = (– 3)² = 9  y f_{(– 1)} = (– 1)² = 1.

Evidentemente 9 es más grande que 1, la parábola en los números negativos va "hacia abajo" (es lo que indica la flecha del dibujo que se encuentra debajo de este texto). Pero la parábola deja de "descender cuando x es cero, no baja más. Ha llegado a un extremo, a su valor mínimo.

Intervalo de decrecimiento: (–  ∞, 0)

Conjunto o intervalo de crecimiento: A partir del cero, a medida que los valores de x se hacen más grandes, sus imágenes también se hacen más grandes. La imagen de 1 es más chica que la imagen de 3, por lo que la parábola va hacia arriba, crece y no se detiene... crece hasta el infinito (y más allá).                      

Intervalo de crecimiento: (0, + ∞ )

Ahora analicemos una función un poco más complicada.... f_(x) = x² – 4

Nuevamente el dominio será todos los reales y para calcular la imagen necesitamos el vértice. Como tenemos la expresión canónica f_(x)= a (x + v_x)² + v_y podemos hallarlo sin problemas. Primeramente tomemos la ecuación que estamos analizando y expresémosla como canónica: f_(x) = 1 (x + 0)² – 4. Vemos que el valor que está sumando a x es cero, por lo tanto la coordenada x del vértice es 0 y la correspondiente a la coordenada y del vértice es – 4.   Así que nuestro vértice es (0, – 4)

La coordenada y del vértice nos indica cual es el extremo de nuestra imagen, como a es positiva, la parábola "sonríe" y va hacia arriba. Nuestra imagen será. pues desde menos cuatro hasta más infinito.    

Dom_f : R         Img_f : [– 4, + ∞ )

Para calcular los ceros de la función igualamos a cero y despejamos.

El conjunto de ceros será pues C^o = {– 2, 2}

Ahora busquemos los conjuntos de positividad. En este caso nos conviene recordar la regla de los signos, si multiplicamos dos números positivos o dos números negativos el resultado será positivo. Y si multiplicamos dos números de distinto signo nuestro resultado será negativo. Para facilitar las próximas cuentas factoricemos nuestro polinomio de segundo grado para expresarlo en forma factorial, así que f_(x) = x² – 4 queda factorizado f_(x) = (x – 2) (x + 2)

Ahora utilizaremos un teorema, llamado Teorema de Bolzano, que nos indica algo que podemos ver a simple vista. Si tenemos que las imágenes de dos valores de x tienen signos opuestos, debe haber un cero entre ellos. Como sabemos donde están los ceros, sencillamente analizamos los signos, para lo cual separamos en intervalos cuyos extremos son los ceros de la función. Podemos hallar los signos sencillamente hallando la imagen de cualquier número que pertenezca a ese intervalo. Es interesante destacar que sin importar el número elegido, dentro del intervalo obtendremos siempre el mismo signo. De esa manera podemos hallar el intervalo de positividad y negatividad de manera sencilla. Como lo muestra el cuadro armado en el costado izquierdo.